Съдържание:
- Гърците
- Блек и Скоулс
- Делта
- Гама
- Три начина за изчисляване на промяната в стойността на дадена позиция
- 1. Изчисляване на печалбата с помощта на паричен поток
- 2. Изчисляване на печалбата с помощта на Delta
- 3. Изчисляване на печалбата с помощта на гама
Гърците
Гърците - делта, гама, тета, вега и ро - са пет променливи, които помагат да се идентифицират рисковете от опционната позиция.
Рисковете, пред които са изправени инвеститорите при опциите, не са едномерни. За да се справи с променящите се пазарни условия, инвеститорът трябва да е наясно с големината на тези промени. За да се види дали промените са големи или малки, независимо дали създават голям или малък риск, теорията на опциите и моделите за ценообразуване на опциите предоставят на инвеститорите променливи, идентифициращи характеристиките на риска на тяхната опционна позиция. Тези променливи се наричат гърци. Има пет гърци, които наблюдаваме: делта, гама, тета, вега и ро.
Тъй като гърците са производни на формулата на Black & Scholes, ще започнем, като обясним малко повече за това.
Блек и Скоулс
Формулата Блек и Скоулс, понякога известна като формула Блек, Скоулс и Мертън, е стандартният инструмент на пазара за опции за ценообразуване. Тази формула цени опция като функция от текущата цена на акциите S 0, времето до падежа на опцията T, нейната стачка X, волатилността σ и лихвения процент r:
повикване = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
put = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1) с
където N (x) е кумулативната нормална функция на разпределение за стандартното нормално разпределение, т.е. вероятността случайна променлива ~ N (0,1) (със стандартно нормално разпределение) е по-малка от x.
Преди да обсъдим формулата, нека да посочим основните предположения. Формулата на Блек и Скоулс предполага:
- Връщанията са IID (независими и идентично разпределени) с нормално разпределение.
- Бъдещата волатилност е известна и постоянна.
- Бъдещият лихвен процент е известен, постоянен и еднакъв за вземането и отпускането на заеми.
- Пътят на акциите е непрекъснат и е възможна непрекъсната търговия.
- Разходите за транзакции са нула.
За да развием теорията, приемаме, че всички тези предположения са валидни. Тази формула е пазарен стандарт, тъй като е изключително стабилна по отношение на нарушения на нейните предположения.
Делта
Първият гръцки, който ще бъде обсъден, е делтата. По принцип делтата е чувствителността на теоретичната стойност на опцията към промяна в цената на базовия договор. По-лесно, делтата е промяната на стойността на опцията, когато основната стойност се повиши с 1 долар. Например:
Δ повикване = ∂c / ∂S = N (d 1) и Δ put = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1,
с N (d 1), както във формулата на BS.
Стойността на кол опцията се увеличава, когато цената на акциите се повиши, така че делтата на кол опцията е положителна. Обратно, стойността на пут опцията намалява, когато цената на акцията се повиши, така че делтата на пут опцията е отрицателна.
Може да се отбележи, че N (x) е функция на плътността на вероятността, така че отнема стойност. Тогава делтата на един разговор винаги е включена и делта на един входящ. Тъй като основното ниво обикновено е 100 акции, делтата на опцията се умножава по 100. Например опция с делта 0,25 се разглежда като делта 25. Колкото по-висока е делтата, толкова по-подобна ще бъде промяната на стойността на опцията да бъде към основния запас. Стойността на опция с делта 100 ще се движи точно със същата скорост като основната акция. Обърнете внимание също, че операцията с производни е линейна, така че можем да изчислим делтата на всяка опция и да ги сумираме, за да получим делта на цялото портфолио (тогава тя може да бъде извън разбира се).
Когато опцията се доближи до изтичане, нейната делта ще се промени, тъй като вероятността за изтичане във или извън парите се променя и нормалното разпределение се стеснява и центрира около средната стойност. Тъй като опцията се приближава до изтичане, опциите за пари ще се придвижат към делта 100, а опциите извън парите ще се придвижат към делта 0. От друга страна опциите за парите ще останат около делта 50.
Тъй като основният запас се променя в цената, делтата също се променя. Това се очаква, тъй като d 1 е функция от цената на акциите.
Делта на разговор
Практическо тълкуване на делтата е коефициентът на хеджиране: количеството акции, които трябва да бъдат закупени или продадени, за да се неутрализира насоченият риск на опцията. От формулата на BS можем да видим друга интерпретация. Грубо казано, можем да кажем, че делтата на опцията е нейната вероятност да изтече в парите. (За пут ще вземем абсолютна стойност). Това сближаване работи само за европейските опции.
Обобщавайки, има три интерпретации на делта:
- Промяната в стойността на опцията, ако основният се увеличи с 1 долар.
- Коефициентът на хеджиране: броят на акциите, които трябва да бъдат закупени или продадени, за да неутрализира дирекционния риск на позицията.
- Шансът опцията да бъде в парите при изтичане
→ OTM повиквания: delta има тенденция към 0, когато наближаваме изтичането.
→ ITM повиквания: делта се движи до 100 с течение на времето.
Делта на пут спрямо базова цена
Делта срещу нестабилност
Тъй като волатилността се увеличава (намалява), делтата на кол се насочва към (далеч от) 0,50, а делтата на пут към (далеч от) -0,50. Така че, ако волатилността се повиши (намали), делтата на опцията за пари намалява (увеличава). В случай на опция без пари, това е точно обратното.
Делта спрямо времето
С течение на времето делтата на кол се отдалечава от 0,50, а делтата на пут от -0,50. С течение на времето делтата на паричния разговор се движи към 1, а делтата на изходящите пари към 0.
Гама
Гамата е производно на делта като функция от цената на акциите. Тъй като делта е производната на стойността на опцията като функция на основния запас, гама е промяната на делтата, когато цената на акциите се увеличи с 1 долар. Пише се по следния начин:
Γ = δ 2 c / δS 2 = N '(d 1) / S 0 σ √T
с d 1 както във формулата на BS и N 'първото производно на функцията на кумулативна плътност на Гаус, това е обичайната гауссова плътност:
Гама спрямо цена на акциите, гама срещу време
Често се казва, че гамата достига максималната си стойност, когато опцията е банкомат. Това е правилно като първо приближение, но реалният максимум се достига, когато цената на акциите е малко под цената на стачката. Този ефект е показан в лявата част на фигурата по-горе за търговия на акции на 100 долара. При един удар X, нестабилност σ, скорост R, и време за изтичане T, стойността на склад дава максимална гама е S макс Γ = Хе - (R + 3σ ^ 2/2) T.
Гама кривата на кол и пут са идентични. Това е в съответствие с това, което казахме за разговорите и пускането като цяло, както и за гамата в частност досега.
Тъй като времето до изтичане намалява, гама и тета на опциите на парите се увеличават. Точно преди изтичането на тези променливи могат да станат драстично големи.
Гама срещу време
Както показва горната фигура, графиката се стеснява, но общата повърхност под графиката остава непроменена. В резултат на това графиката получава много по-висок връх. По-високият връх символизира увеличаването на гама и тета, тъй като времето до изтичане намалява.
Поради поведението на повикванията на ITM, ATM и OTM, виждаме, че делта кривата ще се засилва около стачката с наближаването на изтичането. Следователно, гамата ще се увеличава за опцията за банкомат с течение на времето. Това обаче не е вярно за опциите за OTM и ITM.
Гамата е важен параметър на риска, тъй като тя определя колко пари можем да спечелим или загубим от нашия делта неутрален портфейл при промяна на цената на акциите. В следващия пример ще оценим P / L на опционна позиция като последица от движението на основния. Ще приемем постоянна гама от 2,7, така че делтата се променя с 2,7 за долар движение на основния.
Да приемем, че купуваме 80 разговора 1000 пъти на 5,52 с цена на акция от 79 долара. За да бъдем делта неутрални, трябва да продадем 51 100 акции. Цената на акциите се развива, както следва:
t = | Цена на акциите |
---|---|
0 |
79 |
1 |
84 |
2 |
76 |
3 |
79 |
При t = 1 и t = 2 пренастройвам хеджирането си, за да бъда делта неутрален. При t = 3 затварям позицията си.
Три начина за изчисляване на промяната в стойността на дадена позиция
Ето три начина за изчисляване на промяната в стойността на нашата позиция, първият с използване на паричен поток, вторият с помощта на делта и третият с помощта на гама.
1. Изчисляване на печалбата с помощта на паричен поток
Първо разглеждаме паричните потоци, както е показано в таблицата по-долу. Втората колона показва паричните потоци, свързани с кол, а третата свързана с моята позиция на акции. Последният ред сумира всички:
Така че в крайна сметка правим печалба от 132 300. Ако имаме дълги опции и по този начин имаме дълга гама позиция, трябва да купим акции, ако цената на акциите намалее, и да продадем акции, ако цената на акциите се увеличи (купувайте ниско, продавайте високо), така че винаги правим печалба, ако акциите се движат. Проверете сами дали това е валидно както за обаждания, така и за путове.
2. Изчисляване на печалбата с помощта на Delta
Сега разглеждаме втори начин за изчисляване на печалбите. Сделките са еднакви, просто изчислението на печалбата се различава. С този метод ние разглеждаме едновременно опцията и позицията на акциите. Имаме запаса като хедж за опцията, така че нека просто разгледаме общата делта позиция. Започваме делта неутрално. След това акциите се движат, печелим делта. (Изчисляваме делтите, които получаваме, като използваме разликата между две дадени делти за дадените начални и крайни стойности на запасите. За да получим средната делта по време на хода, приемаме тази стойност, разделена на две). Портфолиото нараства в стойност според делтите си, както е обяснено по-долу.
В този случай използваме средния делта метод. Тоест ние:
- Изчислете средната делта позиция по време на движението на акциите.
- Умножете това по интервала, за да изчислите печалбата.
В момент t хеджираме, така че купуваме / продаваме акции, така че делтата отново да е неутрална.
Нека разгледаме това по-внимателно:
- При t = 0, борсовите сделки 79, започваме делта неутрална позиция, тоест имаме 51 100 акции къси
- При t = 1, борсовите сделки 84. Делтата на опционната позиция е 64,6 * 1000 (от опциите) -51100 (от акциите). Между t = 0 и t = 1, моята делта позиция премина от 0 на 13 500. Тогава средната ми делта за хода беше (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 на разговор). За да изчисля PnL на моята позиция, умножавам тези делта по размера на движението на акциите: 6570 * 5 = 33 750 долара. За да реализирам тази печалба, трябва да продавам акции, за да бъда отново делта неутрален.
- При t = 2, борсовите сделки 76. Делтата на моята опционна позиция е 43.0 * 1000, а делтата на моята позиция е -64600…
Пример за изчисляване на печалба с помощта на гама.
3. Изчисляване на печалбата с помощта на гама
В горния пример изчислихме средната делта позиция, като взехме средната стойност на началната делта позиция и крайната делта позиция. Това може да се постигне и с помощта на гама, тъй като гамата определя промяната на делтата за долар.
Нека изясним как:
- При t = 0, борсовите сделки 79, делта неутрална, гама е 2700.
- При t = 1, борсовите сделки 84. Запасът се премести с 5, така че новата ми делта позиция е 5 * 2700. В началото на хода делтата ми беше 0, така че средната ми делта е 5 * 2 700/2. Запасът се премести с 5, така че портфейлът спечели 5 * средна делта = 5 * 5 * 2,700 / 2. Портфолиото е хеджирано, така че делтата отново е 0. Ние наричаме това „скалпиране на гамата“. Дългата гама позиция ви позволява да купувате ниско и да продавате високо.
- При t = 2, борсовите сделки 76. Това са ходове от 8 долара, новата ми делта позиция е 8 * 2700…
Може да се използва следната обща формула, ако започнем от делта неутрално портфолио:
P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2